[Calculus]삼중 적분문제에 관한 꿀팁

삼중 적분에 대한 문제 중에서 변수의 범위가 함수로 나타내서 적분해야 되는 경우를 많이 볼 수 있다.(변수들이 모두 정수로만 되어 있다면 매우 좋겠지만 ㅎㅎ)

 삼중적분을 하는 방법은 다양하게 있겠지만 내가 생각해본 방법을 소개해보겠다.(사실 이 방식이 다른 곳에도 있을 수 있다.)

① 뚜껑과 바닥이 되는 축 설정하기 (뚜껑과 바닥은 그 형태의 높이가 되는 것을 말한다.) 

② 뚜껑 높이 함수 부등식 구하기(그 축을 포함하게 사영시켜 구하기)

③ 뚜껑축을 제외한 나머지 변수평면으로 사영
④ 나머지 변수들을 함수나 정수로 부등식 표현

 

 

 

 

 

 

 

 이것또한 글로는 어려울 수 있으니 예시문제로 설명을 해보겠다.

 

ex) $y=x^2, \, z=0, \, y+2z=4$ 로 둘러 싸인 부피를 삼중적분으로 표현하시오.

① 뚜껑과 바닥이 되는 축 설정하기

대부분 $z$축을 뚜껑과 바닥으로 놓을 것 같은데, 그러면 설명은 편하겠으나 어려운 축으로 설정해서 설명해 보겠다.

일단 뚜겅과 바닥이 되는 축을 $x$축으로 놓는다고 가정하겠다.

 

② 뚜껑 높이 함수 부등식 구하기(그 축을 포함하게 사영시켜 구하기)

그렇다면 높이가 되는 변수$x$를 함수나 정수(대부분 함수로 나타날 것이다.)로 나타내야 하는데 여기서도 두 가지 방법이 있다.

$i)$ $x-z$평면으로 사영하기

$ii)$ $x-y$평면으로 사영하기

<그림 1> xz평면 xy평면으로 사영

$i)$ $ii)$ 경우를 둘 다 그래프로 그려보면 <그림 1>과 같은 그래프로 나타난다.

$ii)$경우로 설명) $x$로 적분하는 것이므로 화살표방향으로 적분을 해야 됨을 인지하고 $x$의 범위를 구한다면

$y=x^2 \quad \pm\sqrt{y}=x$를 만족하고 $x$의 범위는  $-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}$ 이렇게 된다.

이를 적분을 나타내면 $\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 1 dx$를 구할 수 있게 된다.

 

 

 

 

 

 

③ 뚜껑축을 제외한 나머지 변수평면으로 사영

뚜껑축 $x$를 제외한 나머지 변수 $x-z$평면으로 물체를 사영시키면 <그림 2> 같은 그래프로 나타난다.

<그림2>&nbsp; yz 평면으로 사영

여기서도 ②번 방식처럼 변수를 $x$,$z$할지 정하면 되는데 여기서는 $z$로 정해서 설명하겠다.

②번과 같이 $z$로 변수하는 것이 화살표방향으로 적분을 해야 됨을 인지하고 $z$의 범위를 부등식으로 구해보면

$ {0 \leq y \leq 4} \quad { 0 \leq  z  \leq  2 - \frac{y}{2} } $ 로 나타난다.

 

④ 나머지 변수들을 함수나 정수로 부등식 표현

이를 이제 삼중적분으로 나타내면 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

$ \int_{0}^{4} \int_{0}^{2-\frac{y}{2}} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 1 dx\,dz\,dy$

 

 

 

 

 

 

 

이런 방법으로 삼중적분을 표현하는 방법을 정형화한다면 좀 더 쉽게 삼중적분 문제를 풀 수 있을 것이다.

 

문제출처 : James Stewart - Calculus, Early Transcendentals, International Metric Edition 8e (Exercise 15.6.31)