[Calculus]이중 적분 노트정리

 푸비니 정리

함수 $f$ 가 범위 $R =  \big\{(x,y)  | a \leq x \leq b ,c\leq y \leq d \big\} $에서 연속이면

$\iint_{}^{}f(x,y)dA =\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dydx= \int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy$ 을 만족한다.

 

그리고 $\iint g(x)h(y)dA = \int_a^b g(x)dx \int_{c}^{d} h(y)dy \quad \mathbf{where} \; R = \left [ a,b \right ] \times [c,d] $와 같이 피적분함수가 각각 $x$와 $y$의 곱으로 나타나고 범위가 숫자일 때, 각각의 적분으로 나타낼 수 있다. 

 

 

 

 내가 생각한 것중에서 이중적분에서 적분의 범위가 숫자가 아닌 함수로 나타날 때 적분을 $x$ 먼저 할지 $y$ 먼저 할지 고민이 드는 경우가 있다.

이럴 때는 $x,y$축을 적분의 범위 그래프로 천천히 움직였을 때 그래프와 축이 만나는 점이 오직 2개 뿐일 때, 적분 범위를 편하게 나타낼 수 있다! 점이 3개 이상이면 함수를 많이 많을어서 적분해야 한다.

말로 설명하는 게 어려우니 그림으로 한번 더 설명하자면 아래 <그림1>와 같은 범위 $D$ 가 있을 때 $y$축과 평행하게 파란선을 그려보면 범위 $D$에서 만나는 점은 2개 밖에 되지 않는다. 그러므로 범위를 $g_2(x)$와 $g_1(x)$로 나타내서 $dy$즉 $y$에 관해서 적분을 먼저하고 이후 $x$에 관해서 범위 $a,b$로 적분하면 된다.

<그림1>

만약에 그림 2처럼 되어있다면 만나는 점이 3개가 되는 곳도 있기 때문에 함수를 복잡하게 나누어서 계산해야 되므로 이 영억은 $dx$, $x$에 관해서 적분을 먼저하고 나서 $y$에 관해서 범위 $c,d$로 적분하면 된다.

 

 

 

 

<그림2>

하지만 두가지 방법 다 가능한 범위도 있다! 이럴 때는 어떻게 했을 때 함수를 덜 만들고 적분을 할 수 있을지 고민하여 쉬운 방향으로 가야한다.

<그림 3> 이럴 때는 (b)로 하면 함수를 두개만 써도 되므로 적분이 쉬워진다.

이중적분에서 가장 중요한 것은 $x,y$의 범위를 잘 찾아야 된다는 것이다. 이 것만 잘 할 수 있다면 이중적분은 매우 쉬워진다. 

 

 

 

 

그림 출처:James Stewart - Calculus, Early Transcendentals, International Metric Edition 8ed